شاگرد اول

 

  


.:: مجموعه ی اعداد حقیقی ::.

--------------------------------- 

قبل از صحبت درباره عدد های حقیقی لازم است مروری بر

مجموعه هایی که تا بحال با آنها آشنا شده ایم داشته باشیم :

 

عددهای طبیعی =N 

                                                                

                                                                                         

 

 عدد حسابی = I

                                           

 

عدد صحیح = Z

 

                                                                  

 

 

 

عدد گویا = Q

                                                                 

                                                                                                                                  

    

 

 

 

عدد گنگ ( اصم ) =  QC  

  ‍ 

                

 

 

عدد حقیقی  (real number):

 

حقیقی منسوب به حقیقت است و به معنی واقعی است 

 در ریاضی هر یک از عددهای گویا و عددهای گنگ (اصم)

 را یک عدد حقیقی می نامند.

 

مجموعه ی عدد های حقیقی:

 

مجموعه ی تمام عددهای گویا و عددهای اصم را مجموعه

اعداد حقیقی می نامیم و آنرا با حرف نمایش می دهیم.

 

                                                 

 

عدد اصم (گنگ)   ir rational number = surd

 

اصم به معنی کر و ناشنوا است و گنگ به کسی که کلمات

را نتواند ادا کند. در ریاضی :

 

اگر عدد طبیعی n  مجذور کامل نباشد آن گاه     عددی اصم

(گنگ) است.

 

 

بعبارت دیگر هر عدد رادیکالی که جذر دقیق نداشته باشد

را یک عدد گنگ می گویند .

مانند می دانیم امکان نمایش این اعداد به صورت کسر

وجود ندارد بنابراین :

 هر عدد حقیقی که گویا نباشد ، عدد اصم (گنگ) نامیده می شود.

 

 

 

 

محور عددهای حقیقی :

همه اعدادی را که تا کنون یاد گرفته ایم یک عدد حقیقی هستند

 

وچون پیداکردن تک تک اعداد حقیقی روی محور کار بسیار

 سختی است.

 

این مجموعه اعداد را بصورت فاصله  یا بازه نشان می دهیم ،

 

دور اعداد داده شده روی محور را دایره تو خالی می کشیم و

 

 فاصله بین آنها را رنگی می کنیم یا هاشور می زنیم .

                            --------------------------------------------------

مثال: نمایش هر یک از مجموعه های زیر را روی یک محور

 مشخص کنید.

 

حل:  

 

 

 

تمامی عدد های حقیقی بین 2- و 3+ عضو این مجموعه هستند.

 

دایره ی تو پر و علامت نشان می دهند که 2- عضو

 

مجموعه ی Aمی باشد ودایره ی توخالی و علامت > نشان می دهند

 

که 3 عضو مجموعه ی A نمی باشد.

 

نکته /:  مجموعه ی A را به صورت (3 و 2-] نیز نشان می دهند

 

 که این مجموعه را بازه ی نیم باز 2- و 3 می گویند.

 

بازه نیم باز یعنی که عدد 2- عضو مجموعه هست

 

 ولی عدد 3 عضو مجموعه نمی باشد .


 

 

                            

حل:            

 

 

تمامی عدد های حقیقی بین 0و 4 عضو این مجموعه هستند.

 

نکته / : مجموعه ی B را به صورت (4 و 0)نیز نشان می دهند

 

که این مجموعه را بازه ی باز 0 و 4 می گویند.

 

بازه باز یعنی که خود 0 و 4 عضو مجموعه نیستند .


 

 

حل:             

 

 

نکته / : مجموعه ی C را به صورت[ 3 و 1-] نیز نشان می دهند

 

که این مجموعه را بازه ی بسته 1- و 3 می گویند.

 

بازه بسته یعنی که هم 1- و هم 3 هردو عضو مجموعه هستند.


 

 

حل:          

 

نکته / : مجموعه ی D را به صورت (1 و ∞-) نیز نشان می دهند

 

 که این مجموعه بازه ای را نشان می دهد که از سمت راست محدود

 

 و از سمت چپ نامحدود است. (∞- را بخوانید: منفی بی نهایت)

 

 

نمایش عدد گنگ روی محور

 

اعدادگنگ را نمی توان بصورت یک کسر ( صورت و مخرج

 

عددی صحیح باشد )نوشت برای همین آن ها را بصورت هندسی

 

 و با استفاده از مثلث قائم الزاویه و رابطه فیثاغورس روی محور

 

 اعداد نشان می دهند .                                 

یاد آوری قضیه فیثاغورس

در هر مثلث قائم الزاویه ، مربع وتر برابر است با مجموع

مربعات دو ضلع دیگر.

 

17_2

اکنون به دو مثلث زیر توجه کنید که چگونه را بطه فیثاغورس

 در مورد اضلاع دو مثلث صادق است .

17_3

حالا که ما رابطه فیثاغورس را فهمیدیم اکنون می توانیم بر روی

محور اعداد ، یک عدد گنگ را ترسیم کنیم

17_4

سوم :از مرکز صفر کمانی رسم می کنیم که از نقطه A  بگذرد ،

 این کمان مرکز آن نقطه صفر و راس آن نقطه A  خواهد بود .

 این کمان را امتداد می دهیم ، هر جا که محور اعداد را قطع کند

 آن نقطه برابر عدد مورد نظر ما است . مطابق شکل زیر :

 ( البته ما در شکل زیر هم رادیکال 5 وهم منفی رادیکال 5 را نمایش داده ایم )

17_5

17_6

یعنی ما اینجا مثلثی داریم که یکی از اضلاع قایمه آن برابر

 رادیکال 3  است و در حقیقت گنگ است . پس  برای رسم آن

 بر روی محور اعداد بصورت زیر عمل می کنیم .

ابتدا از نقطه ۱ به اندازه یک واحد بالا می رویم ، یعنی خطی

 به طول یک رسم می کنیم ، سپس از انتهای خط یک نقطه A 

 کمانی به طول ۲ و با مرکز نقطه A  رسم می کنیم تا هر جا که

 محور اعداد را قطع کند ، عدد مورد نظر ما بدست می آید .

17_7

 بیانی دیگر برای پیدا کردن اعداد گنگ

برای مشخص کردن جای دقیق تری از روی محور

 به ترتیب زیر عمل می کنیم:

الف: مثلث قائم الزاویه مناسبی که طول وتر آن باشد

 را رسم می کنیم .

ب: دهانه ی پر گار را به اندازه ی وتر این مثلث باز می کنیم

 و از مبدأ علامتی روی محور در جهت مثبت محور می زنیم.

 

مثال: در شکل مقابل تعداد ی مثلث قائم الزاویه رسم

 

 شده است که در هر کدام یک ضلع زاویه قائمه به

 

طول 1 واحد است.طول پاره خط های

 

OD, OC , OB , OA را حساب کنید.

 

 

حل: ( از اولین مثلث شروع می کنیم و اندازه OA را بدست می آوریم )

 

 

نکته:چنانچه مثلث های قائم الزاویه را یکی بعد از دیگری

 مانند مثال قبل رسم کنیم، شکل زیبای حلزونی بوجود

می آید که به کمک آن عددهای  ,  , ,   و.... را

 می توان مشخص کرد.                                   

                                                            

 

 

 

 

 

می توانیم روی محور اعداد، نقطه ی متناظر با هر یک

از عددهای , , , و ........ را مشخص کنیم.

 برای این کار به ترتیب زیر عمل می کنیم:

 

الف: مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع 1cm و وتر OA را

 روی محور اعداد در نظر می گیریم . می دانیم اندازه ی

 OA با استفاده از رابطه ی فیثاغورس بدست می آید .

 حال به مرکز O و شعاع OA دهانه ی پرگار را باز کرده

 و یک کمان می زنیم تا جهت مثبت محور اعداد حقیقی را در

 نقطه ی قطع کند . نقطه ی متناظر با عدد بدست می آید.

 

 

 

ب: مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع  و وتر OB

را روی محور اعداد در نظر می گیریم .می دانیم اندازه ی

 OB با استفاده از رابطه ی فیثاغورس بدست می آید .

 حال به مرکز O  و شعاع OB دهانه ی پرگار را باز کرده

 و یک کمان می زنیم تا جهت مثبت محور اعداد حقیقی را در

 نقطه ی قطع کند.

 

 

ج: به همین ترتیب اعداد , ,  و....را نیز می توان

روی محور اعداد حقیقی نشان داد . کافی است مثلث های

قائم الزاویه را به همین ترتیب روی محور ادامه دهیم.

 شکل زیر چگونگی کار را نشان می دهد.

 

نوشته شده در دوشنبه ٢٧ مهر ۱۳٩٤ساعت ٤:۳۳ ‎ب.ظ توسط میترافریدونی نظرات ()

Design By : Pars Skin